求方程3^x+4^x=5^x 的解(要过程)

由于3, 4, 5是一组勾股数，不难得到一个解x = 2。我们还要说明这个解是唯一的（实根）。

再看函数
f(x) = 3^x + 4^x - 5^x
f(x) = 0 当且仅当
g(x) = 1 + (4/3)^x - (5/3)^x = 0
对g(x)求导
g'(x) = ln(4/3) * (4/3)^x - ln(5/3) * (5/3)^x
对g'(x)作类似处理，令
h(x) = ln(4/3) - ln(5/3) * (4/5)^x
则g'(x) = 0 当且仅当 h(x) = 0，且h(x)与g'(x)单调性相同。
不难看出h(x) = 0有唯一解。
从而不难得到g'(x)单调性。进而可得到g(x)的单调性，从而判断g(x)实根唯一。
所以f(x)实根唯一。
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/9442330.html

两边除5^x
(3/5)^x+(4/5)^x=1
显然x=2时，成立

令f(x)=(3/5)^x+(4/5)^x
f(2)=1
因为3/5和4/5都是大于0小于1
所以(3/5)^x和(4/5)^x都是减函数
所以f(x)是减函数
所以x>2时，f(x)<f(2)=1,即f(x)<1
x<2时，f(x)>f(2)=1,即f(x)>1
所以只有x=2时，(3/5)^x+(4/5)^x=1
所以x=2是方程唯一的解

x=2